Главная›Математика›Геометрическая прогрессия

Математика · Пробное ЕНТ

Геометрическая прогрессия: тест ЕНТ

Решите 20 заданий по геометрической прогрессии и пройдите пробное ЕНТ по этой теме. Вопросы охватывают знаменатель прогрессии, формулу n-го члена, сумму первых членов и нахождение неизвестных величин.

20 вопросов4 варианта ответаПроверка сразуОбъясненияБез регистрации

Вопрос 1 из 20Правильных ответов: 0

✓

Тест завершён

Ваш результат по теме «Геометрическая прогрессия»

0 / 20

Другие тесты по математике

Подготовка к ЕНТ: Геометрическая прогрессия

Тематический тест помогает проверить знания по разделу «Геометрическая прогрессия», не отвлекаясь на другие темы школьной математики. Такой формат подходит для повторения после урока, самостоятельной подготовки к ЕНТ и выявления заданий, которые вызывают наибольшие трудности.

Вопросы теста проверяют умение находить знаменатель геометрической прогрессии, вычислять её n-й член и сумму первых членов, определять неизвестные элементы последовательности, а также применять формулы при решении задач.

Как работать с результатом

Не ограничивайтесь только количеством правильных ответов. Разберите задания, в которых была допущена ошибка, и определите её причину: неверно найден знаменатель прогрессии, перепутаны номер и значение члена, неправильно выбрана формула или допущена вычислительная ошибка.

После изучения объяснения попробуйте решить задание ещё раз самостоятельно. Сначала определите известные элементы прогрессии и искомую величину, затем выберите подходящую формулу и аккуратно выполните вычисления.

Повторное прохождение теста рекомендуется после краткого повторения темы. Основная цель — понимать закономерность геометрической прогрессии, правильно выбирать способ решения и уверенно применять формулы в заданиях пробного ЕНТ, а не запоминать расположение вариантов ответа.

Математика · профильный ЕНТ

Геометрическая прогрессия: главное — видеть множитель между членами

На ЕНТ могут быть даны не первый член и знаменатель, а два произвольных члена, сумма, несколько связанных членов или условие на бесконечно убывающую прогрессию. Поэтому важно понимать саму структуру прогрессии, а не только помнить одну формулу.

01 Определить известные члены и их номера

02 Найти или выразить знаменатель q

03 Использовать степень q с правильным показателем

04 При необходимости перейти к сумме

05 Проверить знак, номер и условие на q

Формула n-го члена

b_{n} = b_{1} q^{n - 1}

Между двумя произвольными членами:

b_{n} = b_{m} q^{n - m}

Между m-м и n-м членами показатель равен

n - m

, а не n и не n − 1.

Знаменатель прогрессии

Для соседних ненулевых членов:

q = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}}

Если даны несоседние члены, отношение их значений даёт степень q. Например, между третьим и шестым членами находится три перехода.

Характеристическое свойство

{b_{n}}^{2} = b_{n - 1} b_{n + 1}

Более общий вариант:

{b_{k}}^{2} = b_{k - r} b_{k + r}

Из равенства квадратов не всегда можно автоматически выбирать положительный знак. Нужно учитывать знаки известных членов и условие задачи.

Отрицательный знаменатель

q > 0 При ненулевом первом члене знак членов сохраняется.

q < 0 Знаки членов чередуются.

|q| > 1 Модули ненулевых членов возрастают.

0 < |q| < 1 Модули членов уменьшаются.

Сумма первых n членов

При q ≠ 1:

S_{n} = b_{1} \frac{q^{n} - 1}{q - 1}

Эквивалентная запись:

S_{n} = b_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q}

Обе формулы дают одно и то же. Выбирайте ту запись, в которой меньше отрицательных знаков для конкретного значения q.

Если q = 1

b_{1} = b_{2} = \dots = b_{n}

S_{n} = n b_{1}

Формула с делением на

q - 1

при q = 1 неприменима.

Бесконечно убывающая прогрессия

Если:

| q | < 1

S_{\infty} = \frac{b_{1}}{1 - q}

Условие

| q | < 1

обязательно. Без него бесконечная сумма в обычном смысле не существует.

Вставка геометрических средних

Между A и B вставили k членов Вместе с крайними числами получится k + 2 членов.

Количество переходов Между первым и последним членами будет k + 1 переходов.

B = A q^{k + 1}

Сумма части прогрессии

С p-го по n-й член включительно:

b_{p} + \dots + b_{n} = S_{n} - S_{p - 1}

Если сумма начинается, например, с пятого члена, из полной суммы нужно вычесть первые четыре.

Как решать нестандартное условие

Не ищите сразу b₁

Иногда отношение двух данных условий сразу даёт степень q.

Ищите одинаковые группы

Следующая группа членов может быть предыдущей, умноженной на одну степень q.

Используйте симметричные индексы

Это часто позволяет найти центральный член без определения самого q.

Следите за условиями на знак q

Они могут быть необходимы для единственности ответа.

Частые ошибки

Что особенно важно не перепутать

Основные ошибки в геометрической прогрессии связаны с показателем степени, знаком знаменателя, формулой суммы и выбором лишнего корня при извлечении степени.

У n-го члена степень n − 1

Первый член соответствует нулевой степени q.

Несоседние члены

Нужно учитывать количество переходов между их номерами.

q может быть отрицательным

Нельзя автоматически выбирать положительный корень, если условие этого не гарантирует.

Не путайте bₙ и Sₙ

Один символ обозначает отдельный член, другой — сумму нескольких членов.

Бесконечная сумма требует |q| < 1

Формулу нельзя применять только потому, что в условии написано много членов.

При вставке k членов переходов k + 1

Это одна из самых частых ошибок в задачах на геометрические средние.

Главная схема: «индексы известных членов → степень знаменателя → нахождение q или b₁ → n-й член → конечная или бесконечная сумма → проверка знака и условий задачи».