Математика · Пробное ЕНТ

Квадратные уравнения: тест ЕНТ

Решите 20 заданий по квадратным уравнениям и пройдите пробный тест ЕНТ по этой теме. Вопросы охватывают вычисление дискриминанта, нахождение корней, применение теоремы Виета и решение уравнений разными способами.

20 вопросов4 варианта ответаПроверка сразуОбъясненияБез регистрации

Вопрос 1 из 20Правильных ответов: 0

✓

Тест завершён

Ваш результат по теме «Квадратные уравнения»

0 / 20

Другие тесты по математике

Подготовка к ЕНТ: Квадратные уравнения

Тематический тест помогает проверить знания по разделу «Квадратные уравнения», не отвлекаясь на другие темы школьной математики. Такой формат подходит для повторения после урока, самостоятельной подготовки к ЕНТ и выявления заданий, которые вызывают наибольшие трудности.

Вопросы теста проверяют умение определять вид квадратного уравнения, вычислять дискриминант, находить корни, применять теорему Виета, раскладывать квадратный трёхчлен на множители и выбирать подходящий способ решения.

Как работать с результатом

Не ограничивайтесь только количеством правильных ответов. Разберите задания, в которых была допущена ошибка, и определите её причину: неверно определены коэффициенты, допущена ошибка при вычислении дискриминанта, неправильно применена формула корней или не учтено количество решений.

После изучения объяснения попробуйте решить уравнение ещё раз самостоятельно. Сначала приведите его к стандартному виду, определите коэффициенты, выберите подходящий способ решения и проверьте найденные корни подстановкой.

Повторное прохождение теста рекомендуется после краткого повторения темы. Основная цель — уверенно распознавать квадратные уравнения, правильно применять формулы и методы решения в заданиях пробного ЕНТ, а не запоминать расположение вариантов ответа.

Математика · профильный ЕНТ

Квадратное уравнение — это не только формула через дискриминант

На ЕНТ нужно уметь выбирать рациональный способ решения: разложение на множители, вынесение общего множителя, дискриминант, теорему Виета и работу с параметром. В более сложных заданиях корни напрямую не вычисляются — используются их сумма, произведение и другие симметрические выражения.

01Привести к стандартному виду

02Определить коэффициенты a, b, c

03Выбрать наиболее короткий метод

04Найти или исследовать корни

05Проверить условие задания

Стандартный вид

a x^{2} + b x + c = 0, a \neq 0

aКоэффициент при квадрате переменной.

bКоэффициент при первой степени переменной.

cСвободный член.

Дискриминант

D = b^{2} - 4 a c

$D > 0$ Два различных действительных корня.

$D = 0$ Один действительный корень, или два совпадающих корня.

$D < 0$ Действительных корней нет.

Формула корней

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}

При D = 0:

x = \frac{- b}{2 a}

Перед подстановкой обязательно определите знаки коэффициентов. Если перед x стоит «−5x», то b = −5, а не 5.

Теорема Виета

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

Знак минус относится только к сумме корней. Произведение равно c/a без дополнительного минуса.

Неполные квадратные уравнения

Если c = 0

Вынесите x за скобку и используйте правило нулевого произведения.

Если b = 0

Изолируйте квадрат переменной и исследуйте знак правой части.

Если b = c = 0

Уравнение сводится к ax² = 0 и имеет корень x = 0.

Разложение квадратного трёхчлена

Если известны корни:

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Этот способ особенно удобен, когда корни легко угадываются по сумме и произведению или уже известны из условия.

Параметр и количество корней

Два различных действительных корня

D > 0

Два совпадающих корня

D = 0

Нет действительных корней

D < 0

Если условие дополнительно требует положительные, отрицательные или различные корни, одного условия на дискриминант уже недостаточно.

Знаки корней через Виета

При наличии действительных корней:

S = x_{1} + x_{2}, P = x_{1} x_{2}

$P < 0$ Корни имеют разные знаки.

$P > 0$ Корни имеют одинаковый знак; его уточняют по S.

Выражения через корни

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {x_{1} + x_{2}}^{2} - 2 x_{1} x_{2}

\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2}}

Как выбрать метод

Есть общий множитель?

Сначала вынесите его, а не считайте дискриминант.

Легко подбираются корни?

Используйте разложение или теорему Виета.

Есть параметр?

Сначала переведите условие о корнях в условие на D, сумму или произведение.

Нужно выражение от корней?

Не вычисляйте сами корни без необходимости — используйте Виета.

Частые ошибки

Что особенно важно не перепутать

В квадратных уравнениях чаще всего теряют знак коэффициента, неверно считают дискриминант или решают корни напрямую там, где достаточно одной строки по теореме Виета.

Сначала приведите всё к нулю

Коэффициенты a, b и c определяются только после приведения к стандартному виду.

Не теряйте знак b

Если член равен −7x, то коэффициент b равен −7.

D = 0 означает совпадающие корни

Не нужно записывать два разных значения, если квадратный трёхчлен имеет двойной корень.

Виета зависит от коэффициента a

Формулы −b и c без деления работают только для приведённого уравнения.

Параметр требует полного условия

Например, «два положительных различных корня» требует проверить и знаки, и различность.

Не решайте корни без необходимости

Суммы квадратов, обратные корни и другие симметрические выражения часто находятся напрямую по Виета.

Главная схема: «стандартный вид → коэффициенты → выбор метода → дискриминант или Виета → корни либо их свойства → проверка дополнительного условия».