Главная›Математика›Логарифмические уравнения

Математика · Пробное ЕНТ

Логарифмические уравнения: тест ЕНТ

Решите 20 заданий по логарифмическим уравнениям и пройдите пробный тест ЕНТ по этой теме. Вопросы охватывают свойства логарифмов, область допустимых значений, преобразование выражений и нахождение корней уравнений.

20 вопросов4 варианта ответаПроверка сразуОбъясненияБез регистрации

Вопрос 1 из 20Правильных ответов: 0

✓

Тест завершён

Ваш результат по теме «Логарифмические уравнения»

0 / 20

Другие тесты по математике

Подготовка к ЕНТ: Логарифмические уравнения

Тематический тест помогает проверить знания по разделу «Логарифмические уравнения», не отвлекаясь на другие темы школьной математики. Такой формат подходит для повторения после урока, самостоятельной подготовки к ЕНТ и выявления заданий, которые вызывают наибольшие трудности.

Вопросы теста проверяют умение определять область допустимых значений, применять свойства логарифмов, приводить выражения к одному основанию, выполнять преобразования и находить корни логарифмических уравнений.

Как работать с результатом

Не ограничивайтесь только количеством правильных ответов. Разберите задания, в которых была допущена ошибка, и определите её причину: не учтена область допустимых значений, неверно применено свойство логарифма, допущена ошибка при преобразовании выражения или принят посторонний корень.

После изучения объяснения попробуйте решить уравнение ещё раз самостоятельно. Сначала запишите условия существования логарифмов, затем упростите выражения, выберите подходящий способ решения и проверьте найденные значения с учётом области допустимых значений.

Повторное прохождение теста рекомендуется после краткого повторения темы. Основная цель — правильно применять свойства логарифмов, соблюдать ограничения и уверенно решать логарифмические уравнения в заданиях пробного ЕНТ, а не запоминать расположение вариантов ответа.

Математика · профильный ЕНТ

В логарифмическом уравнении решение начинается с ОДЗ

Недостаточно правильно преобразовать логарифмы. Нужно проверить положительность каждого аргумента, допустимость основания, а после получения алгебраических корней исключить значения, которые не удовлетворяют исходному уравнению.

01Записать ограничения

02Применить свойства логарифмов

03Привести логарифмы к удобному виду

04Решить полученное уравнение

05Проверить найденные значения по ОДЗ

Определение логарифма

\log_{a} b = c \Leftrightarrow a^{c} = b

Основание

a > 0, a \neq 1

Аргумент

b > 0

ОДЗ аргументов

\log_{2} (x - 3)

Требуется:

x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3

Если в уравнении несколько логарифмов, положительным должен быть аргумент каждого из них одновременно.

Произведение и частное

\log_{a} x + \log_{a} y = \log_{a} (x y)

\log_{a} x - \log_{a} y = \log_{a} \frac{x}{y}

Свойства можно применять только при положительных исходных аргументах x и y.

Логарифм степени

\log_{a} x^{n} = n \log_{a} x

Для школьной формулы в действительных числах важно не потерять условие существования исходного логарифма.

Равенство логарифмов

\log_{a} f (x) = \log_{a} g (x)

При допустимых аргументах:

f (x) = g (x)

Это работает как при основании больше 1, так и при основании между 0 и 1: логарифмическая функция всё равно взаимно однозначна.

Переход к новому основанию

\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}

Особенно полезно, когда в одном уравнении встречаются основания, являющиеся степенями одного числа: например 2, 4 и 8.

Переменное основание

\log_{x} 16 = 4

Основание положительно

x > 0

Основание не равно единице

x \neq 1

Замена переменной

Например:

{\log_{2} x}^{2} - 3 \log_{2} x + 2 = 0

Положим:

t = \log_{2} x

После нахождения t обязательно нужно вернуться от логарифма к исходной переменной x.

Вложенные логарифмы

\log_{2} (\log_{3} x) = 1

Аргумент внешнего логарифма тоже должен быть положительным: здесь требуется не просто x > 0, а

\log_{3} x > 0 .

Уравнения с параметром

Найдите формальный корень

Сначала решите полученное алгебраическое равенство.

Подставьте его в ограничения

ОДЗ может превратить условие на x в условие на параметр.

Проверьте количество решений

При некоторых значениях параметра формальный корень может исчезнуть.

Частые ошибки

Что особенно важно не перепутать

Большинство ошибок возникает не в вычислении логарифма, а из-за потерянного ОДЗ, неверного свойства суммы или игнорирования ограничений на переменное основание.

Аргумент строго положителен

Значение 0 внутри логарифма недопустимо.

Основание тоже имеет ограничения

Оно должно быть положительным и не равным 1.

Сумма логарифмов — логарифм произведения

Нельзя складывать их аргументы.

Разность логарифмов — логарифм частного

Не заменяйте её логарифмом разности аргументов.

Алгебраический корень ещё нужно проверить

После сведения к квадратному уравнению часть корней может нарушить ОДЗ.

Переменное основание проверяется отдельно

Например, при основании x обязательно x > 0 и x ≠ 1.

Главная схема: «ОДЗ → свойства логарифмов → единое основание или замена → алгебраическое уравнение → найденные кандидаты → обязательная проверка по ОДЗ».