Математика · Пробное ЕНТ

Планиметрия: тест ЕНТ

Решите 20 заданий по планиметрии и пройдите пробный тест ЕНТ по этой теме. Вопросы охватывают свойства треугольников, четырёхугольников и окружностей, вычисление площадей, длин и углов.

20 вопросов4 варианта ответаПроверка сразуОбъясненияБез регистрации

Вопрос 1 из 20Правильных ответов: 0

✓

Тест завершён

Ваш результат по теме «Планиметрия»

0 / 20

Другие тесты по математике

Подготовка к ЕНТ: Планиметрия

Тематический тест помогает проверить знания по разделу «Планиметрия», не отвлекаясь на другие темы школьной математики. Такой формат подходит для повторения после урока, самостоятельной подготовки к ЕНТ и выявления геометрических задач, которые вызывают наибольшие трудности.

Вопросы теста проверяют знание свойств треугольников, четырёхугольников и окружностей, умение находить углы, длины, периметры и площади, применять теорему Пифагора, признаки равенства и подобия фигур, а также выбирать подходящую формулу по условию задачи.

Как работать с результатом

Не ограничивайтесь только количеством правильных ответов. Разберите задания, в которых была допущена ошибка, и определите её причину: неправильно прочитан чертёж, перепутаны свойства фигур, неверно выбрана формула, не учтены единицы измерения или допущена вычислительная ошибка.

После изучения объяснения попробуйте решить задачу ещё раз самостоятельно. Выпишите известные величины, определите свойства изображённой фигуры, выберите необходимую теорему или формулу и последовательно выполните вычисления.

Повторное прохождение теста рекомендуется после краткого повторения темы. Основная цель — научиться анализировать геометрическое условие, видеть связи между элементами фигуры и уверенно применять свойства и формулы планиметрии в заданиях пробного ЕНТ, а не запоминать расположение вариантов ответа.

Математика · профильный ЕНТ

Планиметрия: сначала определите свойства фигуры, затем выбирайте формулу

В задачах по планиметрии важно не механически подставлять числа, а видеть связи между сторонами, углами, высотами, медианами, биссектрисами, хордами и касательными. Один правильно замеченный факт часто сокращает решение до нескольких действий.

01Определить тип фигуры

02Выписать известные свойства

03Найти вспомогательные длины или углы

04Выбрать теорему или формулу

05Проверить размерность и правдоподобие ответа

Прямоугольный треугольник

Теорема Пифагора:

c^{2} = a^{2} + b^{2}

Площадь:

S = \frac{a b}{2}

Гипотенуза лежит напротив прямого угла и всегда является самой длинной стороной.

Метрические соотношения

Квадрат катета:

a^{2} = c p

Высота к гипотенузе:

h^{2} = p q

Здесь p и q — отрезки гипотенузы, на которые её делит высота из прямого угла.

Площадь произвольного треугольника

По основанию и высоте:

S = \frac{a h}{2}

По двум сторонам и углу между ними:

S = \frac{1}{2} a b \sin γ

Вторая формула использует именно угол между двумя данными сторонами.

Медиана и биссектриса

Формула медианы:

m_{a}^{2} = \frac{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}}{4}

Теорема о биссектрисе:

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}

Подобие треугольников

Соответствующие стороны Их отношения в подобных треугольниках равны одному коэффициенту подобия.

Периметры Относятся как коэффициент подобия.

Площади Относятся как квадрат коэффициента подобия.

Сначала установите соответствие вершин. Сравнивать произвольные стороны двух подобных треугольников нельзя.

Четырёхугольники

Параллелограмм

S = a h

или

S = a b \sin α

Ромб Диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Трапеция Средняя линия:

m = \frac{a + b}{2}

Окружность и хорда

Перпендикуляр из центра к хорде Делит хорду пополам.

Вписанный угол Равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Вписанный четырёхугольник Сумма противоположных углов равна 180°.

Касательная, секущая и сектор

Касательная и секущая:

{PT}^{2} = PA \cdot PB

Площадь сектора:

S_{сект} = \frac{α}{360 °} π r^{2}

В формуле касательной используется произведение внешней части секущей на всю секущую, а не только на её внутренний отрезок.

Теорема косинусов

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ

Теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов при γ = 90°.

Как решать задачу без чертежа

Сделайте схематический рисунок

Он нужен не для масштаба, а для правильного расположения элементов.

Отметьте все данные

Особенно равные стороны, прямые углы, параллельность и точки касания.

Не доверяйте внешнему виду рисунка

Свойство должно следовать из условия или теоремы, а не из того, как фигура выглядит.

Частые ошибки

Что особенно важно не перепутать

В планиметрии ошибка часто появляется ещё до вычислений: неверно выбрана соответствующая сторона, перепутана высота с медианой, взята внутренняя часть секущей вместо полной или использован угол, который не находится между данными сторонами.

Высота, медиана и биссектриса — разные отрезки

Они совпадают только в специальных случаях.

В подобии соблюдайте соответствие сторон

Одинаковый коэффициент применяется только к соответствующим элементам.

Не путайте радиус и диаметр

В формулах площади круга и длины окружности используется радиус.

В касательной и секущей нужна вся секущая

Если PA — внешняя часть, а AB — внутренняя, то полная секущая PB = PA + AB.

Площадь и периметр имеют разные размерности

Площадь измеряется в квадратных единицах, длина и периметр — в линейных.

Не округляйте раньше времени

Если ответ содержит корень или π, сохраняйте точное значение, если условие не требует приближения.

Главная схема: «схематический рисунок → свойства фигуры → вспомогательные величины → подходящая теорема или формула → вычисление → проверка длины, угла или площади».